Número piramidal cuadrado

Los números piramidales cuadrados pertenecen a los números calculados , más precisamente a los números piramidales . Cuantifican el número de esferas que se pueden utilizar para construir una pirámide de base cuadrada. Como el cuadro a continuación muestra el ejemplo del cuarto cuadrado Pyramidalzahl 30, son las sumas de los primeros números cuadrados .

A continuación, denote el -ésimo número piramidal cuadrático.

Aplica

${\ Displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2 } + 4 ^ {2} + \ ldots n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ { 2} + n} {6}}}$

.

Los primeros números piramidales cuadráticos son

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (secuencia A000330 en OEIS )

Para algunos autores, el cero no es un número piramidal cuadrático, por lo que la secuencia de números solo comienza con el uno.

La función generadora de los números piramidales cuadráticos es

${\ displaystyle {\ frac {x (x + 1)} {(x-1) ^ {4}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Pyr} _ {4} ( n) x ^ {n} = \ mathbf {1} x + \ mathbf {5} x ^ {2} + \ mathbf {14} x ^ {3} + \ mathbf {30} x ^ {4} + \ mathbf {55} x ^ {5} + \ ldots}$

Aplica

${\ Displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}}}$

con los coeficientes binomiales y

${\ Displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {Pyr} _ {3} (2n)}$

con los números tetraédricos .

Además, con el -ésimo número triangular:

${\ Displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ Delta _ {n} +2 \ operatorname {Pyr} _ {3} (n-1)}$

• Los otros números piramidales , p. Ej. B. los números tetraédricos .
• La suma de dos números piramidales cuadráticos consecutivos es un número octaédrico .

  (Siga A159354 en OEIS )

La diferencia entre dos números cuadrados consecutivos es siempre un número impar. Más precisamente, debido al hecho de que la diferencia entre el -ésimo y el -ésimo número cuadrado es. Esto da el siguiente esquema:

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccccccccccc} 0 && 1 && 4 && 9 && 16 && 25 & \ ldots & (n-1) ^ {2} && n ^ {2} \\ & 1 && 3 && 5 && 7 && 9 && \ ldots && 2n-1 & \ end {array}}}$

Por tanto, un número cuadrado se puede representar como la suma de números impares, es decir, se aplica . Esta pantalla de suma ahora se usa para mostrar la suma de los primeros números cuadrados por medio de un conjunto de números impares dispuestos en un triángulo. La suma de todos los números impares en el triángulo corresponde exactamente a la suma de los primeros números cuadrados.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccccc} \ scriptstyle 1 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 &&&&&&& \\\ scriptstyle 2 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 &&&&&& \\\ scriptstyle 3 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 &&&&& \\\ scriptstyle 4 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 &&&& \\ \ scriptstyle 5 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 &&& \\\ vdots quad \ vline & \ vdots &&&&& \ ddots && \\\ scriptstyle (n-1) ^ { 2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \\\ scriptstyle n ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-1 \ end {array}}}$

Ahora organizas los mismos números impares de otras dos formas para formar un triángulo congruente.

${\ Displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} \ scriptstyle 2n-1 &&&&&& \\\ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-3 &&&&& \\\ vdots && \ ddots &&&& \\ 9 & \ cdots & \ cdots & 9 &&&& \\ 7 & \ cdots & \ cdots & 7 & 7 &&& \\ 5 & \ cdots & \ cdots & 5 & 5 & 5 \\ 3 & \ cdots & \ cdots & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & \ cdots & \ cdots & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n -1) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {array}}}$

    

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} 1 &&&&&&& \\ 3 & 1 &&&&&&&& \\ 5 & 3 & 1 &&&&& \\ 7 & 5 & 3 & 1 &&&&& \\ 9 & 7 & 5 & 3 & 1 &&& \\\ vdots &&&&& \ ddots & \ && \\ script \ 2n-1 & \ scriptstyle 2n-3 &&&& \ cdots & 3 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n-1 ) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {matriz}}}$

Si coloca estos triángulos uno encima del otro, entonces la suma de cada columna que consta de tres números es siempre constante y existen tales columnas. Entonces, la suma de todos los números impares de los tres triángulos es exactamente tres veces la suma de los primeros números cuadrados. Se aplica lo siguiente:

${\ Displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}}$

• Fórmula de Faulhaber

• John H. Conway, Richard Guy: El libro de los números . Springer, 1996, ISBN 9780387979939 , págs. 47–50 ( extracto (Google) )

• Eric W. Weisstein : Número piramidal cuadrado . En: MathWorld (inglés).